Si hay un objeto que, solamente verlo, identificamos con las matemáticas, son las fórmulas y las ecuaciones. A ciertos les producen escalofríos, a otros, indiferencia, mas algo deberán, a veces, aparte de su empleo concreto, se emplean como motivo artístico, como paradigma de sensatez y seriedad, o bien aun, como un completo despropósito.
Fórmula
Fórmula es un diminutivo de la palabra latina forma, que significa figura o bien imagen (el diminutivo aparece, para los que recuerden algo de latín, de aplicarle el sufijo –ula, femenino de –ulus). Por consiguiente, fórmula vendría a representar ‘pequeña forma’ o bien ‘pequeña imagen’, es decir, la representación en miniatura de una situación, una regla, un procedimiento. Su primera aplicación, cara mil seiscientos treinta, sería para referirse a las expresiones empleadas en un ritual (la celebración de una eucaristía religiosa, por servirnos de un ejemplo, prosigue una fórmula, un esquema específico). Cara mil setecientos seis se comienza a usar como homónimo de receta, en mil setecientos noventa y seis es cuando aparece datado su empleo matemático, en mil ochocientos cuarenta y dos en química, y por último cara mil novecientos veintisiete en automovilismo como especificación de un determinado género de vehículo (fórmula 1, dos, tres o bien cuatro). Evidentemente nos limitaremos acá a su utilización matemática. En la imagen, fórmula matemática (área del círculo) y fórmula química del ácido sulfúrico.
En matemáticas, a esa identidad que compara lo que aparece en todos y cada miembro de la ecuación, se llega a través de un proceso lógico-deductivo. De este modo, para conseguir la precedente fórmula del área del círculo, se ha resuelto una integral definida, la que corresponde al cálculo de la superficie bajo la curva que determina ese círculo (una ecuación, en un caso así)
En un contexto general, las fórmulas son una manifestación del modelo matemático de los fenómenos del planeta real y, como semejantes, pueden emplearse para otorgar una solución (o bien una solución aproximada) a inconvenientes específicos, siendo ciertas más generales que otras. Por poner un ejemplo, la fórmula: F = ma es una expresión de la segunda ley de Newton y se puede aplicar a una extensa gama de situaciones físicas.
¿Es exactamente lo mismo fórmula y ecuación?
Si bien en los dos casos aparecen 2 miembros separados por un signo igual, no es exactamente lo mismo fórmula que ecuación. En verdad, el término ecuación (asimismo del latín, aequatio, derivación del verbo aequare, nivelar, igualar) se usó mucho ya antes. Si bien ya Cicerón la emplea para referirse a una situación de igualdad entre lo adeudado y lo saldado en un crédito, no va a ser hasta más o menos mil quinientos sesenta cuando empiece a usarse en sentido algebraico. Como recordaremos, las ecuaciones brotan en el planteamiento de una situación, que, tras resolverse a través de una serie de reglas, nos da la solución a dicha situación. Asimismo aparecen, para describir un objeto, como en el caso precedente de la circunferencia. Por definición la circunferencia es el sitio geométrico de todos y cada uno de los puntos que equidistan (están a exactamente la misma distancia) de uno fijo, llamado centro. Si ponemos el centro en el punto de coordenadas (0, 0), y procuramos una expresión para todos esos puntos (x, y), teniendo presente de qué manera se calcula la distancia euclidea entre 2 puntos, se debe
Si esa distancia es r (el radio de la circunferencia), igualando las dos expresiones, debemos
Como con la raíz cuadrada (y todas y cada una de las raíces de cualquier índice) se trabaja bastante mal, si elevamos los dos miembros al cuadrado, llegamos a la ecuación descrita previamente.
Obsérvese que esta expresión la cumplen todos y cada uno de los puntos (x, y) que conforman la circunferencia. No es una expresión que nos de un valor específico al reemplazar las letras, sino nos notifica de si un punto (x, y) está o bien no en esa circunferencia (el (dos, tres) no está en la circunferencia de radio cinco por el hecho de que 2^2+3^2 = trece ≠ 5^2 = 25; no obstante, el (cinco, 0), el (0, cinco), el (tres, cuatro), sí que están, por el hecho de que comprueban la igualdad). Es, por consiguiente, una ecuación, no una fórmula. Si bien realizando operaciones (una integral definida, por poner un ejemplo), desde una ecuación, podemos llegar a una fórmula (la del área del círculo previamente).
A veces, es posible componer fórmulas que nos notifiquen de algo que deseemos medir. Por poner un ejemplo, queremos valorar un trabajo de un pupilo, distinguiendo aspectos como la calidad del trabajo (CT), la documentación empleada (D) y la presentación (P), entonces es clara la fórmula a emplear, que podría ser NOTA = 0.65 CT + 0.2 D + 0.15 P, y sabemos que es adecuada pues 0.65 + 0.2 + 0.15 = 1.
Fórmulas controvertibles
Mas a veces, se tratan de medir o bien valorar ítems un tanto ‘escurridizos’. Se puede tomar como referencia casos específicos conocidos, mas por más que se tomen, no van a dejar de ser una aproximación, y es posible que aparezcan situaciones no contempladas que nos lleven a contestaciones ridículas. Por poner un ejemplo, en mil novecientos sesenta y uno, el astrónomo Frank Drake, uno de los vanguardistas en el proyecto SETI (busca de vida inteligente extraterrestre) realizó una fórmula para apreciar la cantidad de civilizaciones inteligentes que pueden existir en nuestra galaxia:
En este link hallarán el significado de cada uno de ellos de esos factores, y los consecutivos ‘inconvenientes’ que se han ido descubriendo en tal fórmula, por más que supuestamente fuera considerada en un inicio como plausible aproximación. En mi entender (no especialista en astronomía), una fórmula de este modo falla no solo por su simplicidad (si bien esa característica siempre y en toda circunstancia vende mucho), sino más bien pues muchos de sus factores son un tanto ‘subjetivos’.
Mas puestos a elaborar, podemos atrevernos con temas según lo que parece, de mayor interés popular, como descubrir la fórmula del amor. Y no han habido pocas propuestas (en suma, que no han encontrado de momento nada satisfactorio, normal por otra parte. Ese intento de medir y matematizar todo, se sale fuera de toda lógica, no solo matemática sino más bien de los pies en el suelo, mas ese es otro tema del que podemos charlar en otra ocasión). Una primera y simpática aproximación la hallamos en la representación gráfica de un corazón (símbolo universal del amor). Ya en los estudios de matemáticas, cuando se introducen las coordenadas polares, nos hallamos con la cardioide, de ecuación
ρ = a(1 + cos θ)
La denominación (por su semejante a un corazón) y también introducción de esta curva se atribuye al matemático italiano Giovanni Salvemini di Castiglione en mil setecientos cuarenta y uno. La cardioide es una curva simple cerrada descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda en torno a otra circunferencia de igual radio. Es por ende un género de epicicloide, la más fácil. Y un caso singular de caracol de Pascal, (curva dedicada a Etienne Pascal, padre del insigne pensador y matemático francés Blaise Pascal, en tal caso charlaríamos de 1636; mas Durero asimismo la dibujó, en tal caso nos remontamos a inicios de mil quinientos, …, en resumen, con el nombre de cardioide es en mil setecientos cuarenta y uno). Su representación en coordenadas cartesianas es mucho más difícil, como pueden comprobar:
comentario que siempre y en toda circunstancia hago a los pupilos cuando se quejan de la razón por la cual hay coordenadas cartesianas, coordenadas paramétricas, coordenadas polares, etcétera Y no es por complicar la vida, sino más bien todo lo opuesto, a fin de que resulte más fácil trabajar con su expresión (y lo de trabajar con ella, se refiere no solo a hacer el ‘dibujito’, sino más bien a derivarla, integrarla, o bien lo que se tercie; para esto cuanto más fácil sea la expresión, es simple comprender que mejor).
Se puede ‘mejorar’ la manera del corazón, mas otros han preferido acercarse a ello cambiando un tanto la ecuación de la circunferencia vista arriba:
Como acercamiento al símbolo del amor, pasable, mas no han faltado quienes han querido describir ese sentimiento de una manera más preciso. Aprovecho para rememorar una historia relacionada con Paul Dirac (mil novecientos dos – mil novecientos ochenta y cuatro), premio Nobel en Física en mil novecientos treinta y tres. En mil novecientos veintiocho, siendo Dirac todavía un estudiante en Cambridge, compuso la próxima ecuación:
Esta fórmula explica el fenómeno del entrelazamiento cuántico, que en determinado sentido se puede interpretar como lo que pasa en el amor. Cuando 2 personas se conocen y se aman, se vuelven una. En términos físicos (en los que fue compuesta), si 2 sistemas interaccionan entre sí a lo largo de un cierto período y después se apartan, ya no se pueden acotar como 2 sistemas diferentes, sino se transforman en un solo sistema.
No obstante, cuando las cosas se extrapolan, dejan de marchar. La ecuación de Dirac describe el comportamiento de partículas microscópicas (como los electrones) cuando se mueven próximos a la velocidad de la luz, y evidentemente, los humanos no estamos en esa activa (es más, ciertos somos muy patosos en las lides de las que charlamos). Además de esto, la ecuación apropiadamente formulada es así:
siendo m la masa, ∂ la derivada (de unas variables que se obvian por simplicidad; la ecuación es una simplificación de un sistema de 4 ecuaciones), y también i la unidad imaginaria. Por otra parte, la ecuación es válida solo para una partícula libre de moverse en el espacio, sin interaccionar con otros campos o bien partículas (y en el amor, eso tampoco ocurre, ¿o bien no?).
Mas como jamás falta un roto para un descosido, ni faltan quienes ‘mejoren’ las cosas. Hace unos años (en dos mil catorce) apareció en múltiples periódicos que MSN (Microsoft Netword, un portal de servicios de internet de Microsoft) había deducido la MSN Spring Love Elabora, merced al trabajo de matemáticos, sicólogos y muchos otros especialistas contratados para esto. Merced a esa fórmula se puede determinar la duración estimada de una relación heterosexual en base una serie de variables que explorarían la compatibilidad y los objetivos mutuos de la pareja, y nos daría pistas sobre los rasgos que deberíamos buscar en el compañero. Este es el ‘bicho’ que publicaron:
Empezaremos escribiéndola apropiadamente (los editores matemáticos de los jornales y demás medios, lo siento, mas es de este modo, dejan bastante que querer, y no ponen potencias, subíndices, etcétera)
El significado de cada variable es el siguiente: L (love) sería la duración prevista en años para la relación; Y (years), los años que la pareja lleva conociéndose ya antes de iniciar una relación seria; P (previous), el número de parejas precedentes que suman las 2 personas; Hm (Honesty male), la relevancia que el hombre atribuye a la sinceridad en la relación; Mf (Money female), la relevancia que la mujer atribuye al dinero en la relación; J (joy), la relevancia que los dos miembros de la pareja dan al sentido del humor; G (good looking), la relevancia que los dos miembros de la pareja dan al aspecto físico; Sm y Sf (sex male, sex female, respectivamente), la relevancia que el chaval (m) y la chavala (f) dan al sexo; I (in-law), la relevancia que da la pareja a las relaciones con los familiares; C (Children), la relevancia que da la pareja a tener pequeños.
En el momento de decidir estas variables (ciertas como Hm y Mf, llaman bastante la atención por el hecho de que pueden ‘herir sensibilidades’), estos ‘expertos’ encuestaron a dos mil hombres y mujeres hasta decidir esos ingredientes clave. Salvo para Y y P que son valores objetivos, el resto (los que charlan de la relevancia que se da a algo) deben introducirse de 1 (no es esencial en lo más mínimo) a cinco (es fundamental). En aquellas que sean relativas a los 2, sus valores se aúnan.
Si los miembros de la pareja son del mismo sexo, la fórmula es diferente (¡¡de qué manera afina el personal!!):
donde S1 y S2 es la relevancia que da cada miembro de la pareja al sexo (no hay duda de que el cuadrado es a fin de que no influya el orden en el que introducimos los datos, si bien, ¿por qué razón no un valor absoluto?). Si equiparamos, la fórmula es exactamente la misma, a menos que han prescindido de las ‘cuestionables’ variables Hm y Mf, y han doblado la J, la relevancia al sentido del humor. ¿Debemos comprender que las parejas heterosexuales duran menos pues somos más “aburridos”? ¿O bien que a fin de que las parejas homosexuales duren más tiempo hay que plegar el sentido del humor? En resumen, que cada sumando acepta diferentes ‘interpretaciones’ (lo que, evidentemente, dista mucho de lo que son las matemáticas y para lo que sirven; saquen conclusiones de lo que deseo decir).
Entre las conclusiones del estudio que llevó a esta fórmula ‘magistral’ (es decir las dos mil encuestas) resaltaba que el número ideal de relaciones anteriores a fin de que tu relación actual sea durable es de cinco (esto opinaba un veinticinco por ciento de hombres y mujeres, si bien uno de cada 5 hombres (veinte por ciento ) mantenía que habría de ser la PRIMERA pareja de su mujer ideal). El resto no eran demasiado novedosas: las mujeres valoran mucho la inteligencia en la pareja, al tiempo que los hombres son más propensos a buscar una buena apariencia; que los hombres que piensan que el sexo es esencial para una relación feliz y perdurable son el doble que las mujeres (veintiseis por ciento en frente de trece por ciento ); que las parejas más durables son las que más se comunican y se comprometen en los menesteres diarios; … En suma, cuando vean una fórmula o bien una ecuación, sean igualmente críticos que con cualquier otra cosa en la vida, por el hecho de que las hay asimismo muy inútiles.
Ciertos estudiosos matemáticos relevantes asimismo han usado las expresiones matemáticas como paradigma artístico, aun con connotaciones trascendentes. En el año dos mil nueve, Edward Frenkel (con diferentes distinciones y trabajos matemáticos esenciales) dirigió y protagonizó la película ‘Rites of Love and Math’ (en el link hallarán rebosante información sobre ella) y en dos mil trece escribió el libro ‘Love and Math’ (hay versión en español, ‘Amor y Matemáticas’, dos mil quince). Está claro que las matemáticas no solo nos resuelven inconvenientes y asisten a comprender el Universo: aun pueden inspirarnos en los campos más inesperados.
Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática De España (RSME).
El ABCdario de las Matemáticas es una sección que brota de la cooperación con la Comisión de Divulgación de la RSME.