La última edición de los premios de la Academia de Hollywood ha motivado diferentes reacciones con respecto a la película que ha acaparado la mayoría de galardones, ‘Todo a la vez en todas y cada una partes’ (Everything Everywhere All at Once, Dan Kwan, Daniel Scheinert y Daniels, EE. UU., dos mil veintidos): siete premios de once nominaciones. Comentarios como «el cine ha muerto», «el cine del futuro», y otros más radicales como inaguantable, infumable, disparate, hastiada, la gente deja de verla a la hora, etc. Cabe preguntarse si la causa es el razonamiento (el multiverso), la realización (mucho montaje y poca interpretación), lo injusto de los premios, o todo ello. No es la primera vez (ni va a ser la última) que la ciencia ficción y la fantasía recurren a temas supuestamente retorcidos: ‘Matrix’ (Hermanas Wachowski, mil novecientos noventa y nueve), ‘Origen’ (Christopher Nolan, dos mil diez), entre otras muchas muchas; y Y tampoco son breves exactamente… Ni que aparecen expresiones visuales diferentes (el movimiento Dogma, por servirnos de un ejemplo), o que se dan premios interesados. En todo caso, no siendo esto un sitio para charlar de cine, vayamos a las matemáticas. Nueva Relacionada vídeo-nueva No El reto de calcular hasta dónde llega Pi, el número que jamás se ‘gasta’ Fernando Blasco Este martes se festeja el Día de las Matemáticas, aunque hasta hace bien poco era la jornada que memoraba tan conocida cifra El ‘multiverso’ matemático Es usual percibir a enseñantes y matemáticos (dirigiéndose a sus pupilos, sobre todo, con anhelo motivador) que las matemáticas poseen todo, que siempre y en toda circunstancia podemos localizar algún término o resultado que contempla cualquier idea (es lo que tiene la generalización, fundamento básico de la matemática). Y este no es un caso diferente. La existencia de diferentes universos paralelos o multiverso (idea y nombre que data de mil ochocientos noventa y cinco, definido por el sicólogo William James) es evidente en los diferentes conjuntos de números existentes en matemáticas. Empezamos con los números naturales, los que nos sirven para contar, esto es, N = undefined. Acá a propósito empieza una controversia: hay quien considera el cero asimismo como natural, y otros que no. No entraré ahora en este tema, mas me alineo entre aquéllos que no lo toman como natural, por el hecho de que si estos son los que sirvan para contar cosas, cuando no existe nada que contar no precisas nada, pues nada tienes. Tras la necesidad de contar, aparece la necesidad de hacer operaciones. Por poner un ejemplo, agregar más objetos a los que ya tienes, definiéndose la suma o adición. Para esta operación no precisamos más números por el hecho de que la suma de dos naturales prosigue siendo un número natural. No obstante, en el instante en que el hombre precisa hacer transacciones comerciales, intercambios, pagos, etc., aparece la sustracción o resta. Y todos sabemos lo que pasa cuando debemos más de lo que tenemos. Precisamos otro género de números, los enteros, que son todos y cada uno de los naturales al lado del cero y a los negativos. En suma, el conjunto ℤ = undefined Meridianamente, los naturales están incluidos en los enteros. O sea que los números naturales comparten dos «universos» diferentes: pueden ser tratados como enteros o como naturales, y en todos y cada lugar rigen propiedades diferentes (ciertas comunes, mas las hay diferentes). Después, con la operación división, nos aparecen números que no están en ninguno de esos dos conjuntos. Se definen entonces los números racionales La condición de que el divisor sea diferente de cero es obvia, pues no se puede dividir por cero, y la de que a y b sean primos entre sí obedece a que, sin entrar en más detalles técnicos, el número racional es la fracción simplificada, sin factores comunes, ya que o sea, si bien las precedentes sean fracciones diferentes, corresponden no obstante al mismo número racional, cero.5. Evidentemente los racionales incluyen a todos y cada uno de los enteros (ya que estos aparecen cuando el denominador b es – 1 o 1). Por consiguiente, ahí tenemos al número dos, por poner un ejemplo, en 3 universos diferentes de momento, el de los naturales, el de los enteros y el de los racionales. Más tarde aparece la necesidad de calcular longitudes, con ellas la operación raíz (cuadrada, cúbica, etc.), y es preciso acotar los números irracionales, que son aquellos que no tienen raíz precisa (como etc.), al lado de los números con infinitos decimales no periódicos (como pi, e, etc.). Cuando los racionales y los irracionales se unen en un solo conjunto, aparecen los números reales. Y cuando pasamos a dos dimensiones (esto es, pasamos de una sola línea, a estimar objetos con base y altura, o sea puntos del plano, designados a través de dos coordenadas, como el punto (1, dos) de la gráfica, aparecen los números complejos. De tal modo que el número dos aparece en múltiples «universos»: los naturales, los enteros, los racionales, los reales…, y los complejos, por el hecho de que dos puede expresarse como dos + 0i, siendo i la unidad imaginaria (que advierto para los que sean demasiado «imaginativos»: tiene por nombre imaginaria, no por el hecho de que no exista, sino más bien pues está en el eje OY, el de las «imágenes»). En esta recensión precedente del ABCdario de las Matemáticas se describieron con más detalle los diferentes géneros de números. Sistemas de Numeración Tal vez ciertas personas, los que estudiamos la EGB por servirnos de un ejemplo, recuerden por otro lado que, un mismo número puede tener diferentes «apariencias» en dependencia de la base de numeración que se empleé. Así, por servirnos de un ejemplo, el número once en base decimal, pasado a binario, o sea, base dos (donde solo existen el cero y el 1), se expresa como mil once ( acá ya explicamos de qué manera se pasa un número de base decimal a binaria). Es claro el porqué: Mas es que en base tres (o sea en el «universo» en el que solo existen los dígitos cero, 1, dos), el once tiene la apariencia ciento dos Para cada base de numeración b, con dos b once, va a tener un «aspecto» distinto: Así, el número once aparte de estar en el «universo» de los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, asimismo «aparece» con diferente aspecto conforme la base de numeración en que «viva». Esas bases de numeración se hallan en otros conjuntos algebraicos llamados anillos, cuerpos, módulos, etc., en dependencia de las propiedades que cumplan (recuerden aquello de la asociativa, conmutativa, etc.). Así estar en base dos equivale a ser una parte del cuerpo conmutativo ℤ/(dos), en base tres sería ℤ/(tres), etc. Por norma general están los conjuntos ℤ/(n), donde n es un numero natural cualquiera. Y ya saben que hay infinitos números naturales, de forma que las aseveraciones de la película «El Cosmos es mucho mayor de lo que imaginas» o «Hay un multiverso infinito», no dice nada peculiar, …. en el planeta de las matemáticas. Por si alguien se considera que esto son matemáticas muy difíciles, de eso nada: son matemáticas elementales, de un primer curso de álgebra abstracta como máximo. Les dejo un reto fácil relacionado con esto, que a la perfección podría haber aparecido en la película: localizar un personaje que tiene el aspecto xyz en el «universo» de base siete y que al pasar el «universo» de base nueve aparece como zyx. ¿Qué aspecto tiene en nuestro planeta decimal? ¿Se animan a descubrirlo? (No hace falta más que haber entendido lo que se ha contado acá, y como es lógico, echar alguna cuenta). Asimismo en geometría Mas no únicamente los números habitan en multiversos. Aun hay resultados, teoremas, que tiene diferente formulación en diferentes lugares, pese a contestar a exactamente la misma idea. En otro artículo de esta sección , charlábamos de de qué manera brotó y qué era la geometría proyectiva. Recordemos, para comprender lo que prosigue ahora, que en el plano proyectivo no existen las rectas paralelas: todas y cada una se cortan en el llamado punto del infinito. En ese contexto, existe el principio de dualidad, en el que a cada proposición le toca otra sencillamente mudando ciertas palabras clave (y eso no sucede en el «universo» de la geometría euclidea). La próxima aseveración es clara: Todo par de puntos diferentes determinan una sola línea recta. Cambiemos gramaticalmente punto por recta y recta por punto, y leamos lo que aparece: Todo par de rectas diferentes determinan un solo punto. Son proposiciones diferentes, señalan cosas diferentes, mas una brota de la otra sencillamente con un intercambio de palabras. Son sentencias duales. Y no solo hay teoremas duales en el plano proyectivo. Asimismo hay figuras, objetos, duales (aun hay objetos auto-duales). Otras disciplinas La idea de multiverso aparece asimismo en Física (mecánica cuántica, principio de indeterminación de Heisenberg, el renombrado gato de Schrödinger, entre otros muchos ejemplos), en Filosofía, Mitología y Religión (¿qué es la reencarnación budista sino más bien un existencia en diferentes universos? o el Dios judeo-cristiano que es uno y trino (ya saben, padre, hijo y espíritu santurrón, aparte de estar omnipresente), en Sicología (cuando soñamos, visitamos algún cosmos diferente del real; el psicótico Norman Bates de Psicosis (Alfred Hitchcock, mil novecientos sesenta y uno) asimismo «vivía» en dos universos paralelos), en Literatura (los viajes en el tiempo, las aventuras de Alicia en un cierto país), en Cosmología, en Astronomía, etc. El lector que haya seguido este artículo asimismo va a haber visitado 4 «universos» diferentes. MÁS INFORMACIÓN nueva No Una inteligencia artificial de Meta afín al ChatGPT supera a Google al descifrar los ladrillos de la vida nueva Si James Webb observa, por vez primera, de qué forma un orificio negro ‘mata’ a su galaxia Enlaces o hipervínculos se llaman ahora, las referencias bibliográficas de siempre. En suma, nada nuevo bajo el sol, el multiverso está bastante trillado desde hace mucho para sorprenderse por una película. ¿Qué el razonamiento es mediocre? Yo aún no la he visto, mas estoy seguro que no va a ser peor que ciertas que me vienen a la cabeza, si bien tampoco me va a parecer merecedora de tanto botín como el logrado. Mas desde entonces, nunca me sorprenderá nada que no haya visto en el planeta de las matemáticas. Puede aun que algún argumentista falto de ideas halle en ellas razonamientos interesantes…. * El ABCdario de las Matemáticas es una sección que brota de la cooperación con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática De España (RSME) . SOBRE EL AUTOR Alfonso Jesús POblación sáEz Maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME.